Question

如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆O

如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去．记圆On的面积为an（n∈N）．（Ⅰ）证明{an}是等比数列；（Ⅱ）求limn→∞（a1+a2+…+an）的值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：记r_n为圆O_n的半径，
则r1＝

l

2

tan30°＝

3

6

l，

rn?1?rn

rn?1+rn

＝sin30°＝

1

2

．
所以rn＝

1

3

rn?1(n≥2)，
于是a1＝π

r

1 2

＝

πl2

12

，

an

an?1

＝(

rn

rn?1

)2＝

1

9

故{a_n}成等比数列．
（Ⅱ）解：因为an＝(

1

9

)n?1a1(n∈N)，
所以

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)＝

a1

1? 1 9

＝

3πl2

32

．