Question

如图所示，光滑水平地面上停放着一辆质量为M的小车，小车的左侧靠在竖直墙壁上，半径为R的四分之一光滑圆

如图所示，光滑水平地面上停放着一辆质量为M的小车，小车的左侧靠在竖直墙壁上，半径为R的四分之一光滑圆弧轨道AB的最低点B与水平轨道BD平滑相接，车的右端固定有一个轻质弹簧，水平轨道BC段粗糙，CD段光滑．现有一可视为质点的质量为m物块从A点正上方h=R处无初速度下落，恰好落入小车沿圆轨道滑动，然后沿水平轨道滑行，与弹簧相接触并压缩弹簧，最后又返回到B相对于车静止．已知M=3m，物块与水平轨道BC间的动摩擦因数为μ，不考虑空气阻力和物块落入圆弧轨道时的能量损失．求（1）物块下落后由A滑至B处时，对轨道的压力大小；（2）水平轨道BC段的长度；（3）压缩弹簧过程中，弹簧所具有的最大弹性势能．

Answer 1

（1）物块从静止释放至B的过程中小车不动，对物体由机械能守恒定律有：
mg（h+R）=

1

2

m

v

2 B

…①
解得：v_B=2

gR

…②
在B处时，由牛顿第二定律有：N-mg=m

v 2 B

R

…③
解得：N=5mg…④
（2）物块滑上水平轨道至B与小车相对静止的过程中，对系统由动量守恒和能量守恒有：
mv_B=（m+M）v_共…⑤
 

1

2

m

v

2 B

=

1

2

(M+m)

v

2 共

+2μmgL…⑥
解得：L=

3R

4μ

…⑦
（3）物块滑上水平轨道至将弹簧压缩至最短的过程中，对系统由动量守恒和能量守恒有：
 mv_B=（m+M）v′_共…⑧

1

2

m

v

2 B

=

1

2

(M+m)v

′

2 共

+μmgL+E_pmax…⑨
解得：E_pmax=

3

4

mgR…⑩
答：（1）物块下落后由A滑至B处时，对轨道的压力大小是5mg；
（2）水平轨道BC段的长度是

3R

4μ

；
（3）压缩弹簧过程中，弹簧所具有的最大弹性势能是

3

4

mgR．