Question

已知数列{an}满足，a1=1，an+1=an2an+1，n≥1（1）求a2，a3，a4，a5（2）猜测并证明数列{an}的通项公式（

已知数列{an}满足，a1=1，an+1=an2an+1，n≥1（1）求a2，a3，a4，a5（2）猜测并证明数列{an}的通项公式（3）证明a1a2+a2a3+…+anan+1＜12．

Answer 1

（1）∵a₁=1，a_n+1=

an

2an+1

，
∴a₂=

1

3

，a₃=

1

5

，a₄=

1

7

，a₅=

1

9

；
（2）猜想a_n=

1

2n?1

．
∵a_n+1=

an

2an+1

，
∴

1

an+1

-

1

an

=2，
∴{

1

an

）是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴

1

an

=2n-1，
∴a_n=

1

2n?1

；
（3）a_na_n+1=

1

2

（

1

2n?1

-

1

2n+1

），
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n?1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

．