Question

已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2tanAtanC=tanAtanB+tanBtanC．（1）证明：a2，b2，c

已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2tanAtanC=tanAtanB+tanBtanC．（1）证明：a2，b2，c2成等差数列且0＜B≤π3；（2）求函数y＝23sin2B+sin(2B+π3)的最大值．

Answer 1

（1）∵2tanAtanC=tanAtanB+tanBtanC．
∴2

sinAsinC

cosAcosC

＝

sinB

cosB

(

sinA

cosA

+

sinC

cosC

)＝

sinB

cosB

sin(A+C)

cosAcosC

∴2sinAsinCcosB=sin²B∴2accosB=b²，
∴a²+c²-b²=b²∴a²+c²=2b²
∴a²，b²，c²成等差数列
     由余弦定理得：cosB＝

a2+c2?b2

2ac

＝

a2+c2

4ac

．
     因为a²+c²≥2ac，∴cosB≥

1

2

．
     由0＜B＜π，得0＜B≤

π

3

  （2）y＝2

3

1?cos2B

2

+sin2Bcos

π

3

+cos2Bsin

π

3

=

1

2

sin2B?

3

2

cos2B+

3

=sin(2B?

π

3

)+

3

∵0＜B≤

π

3

∴?

π

3

＜2B?

π

3

≤

π

3

，
∴?

3

2

＜sin(2B?

π

3

)≤

3

2

，
∴y∈(

3

2

，

3 3

2

]，
∴ymax＝

3 3

2