Question

设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积是多少？（要详细的解答

Answer 1

首先，从平面几何的知识点进行推广。平几中某图形一旦存在外接圆，则其存在一个外心，与外接圆圆心重合，其性质为到每个顶点的距离相等且为外接圆半径。
推广到立几，我们不妨也把立体图形的外接球体的球心称作该立体图形的外心，则我们得到一个同样的性质：此立体图形的外心到每个顶角的距离相等。于是题目简化为求一点，使得该点到此直三棱柱的顶角距离相等，并求出此距离。
仅讨论直三棱柱的某一个三角形底面ABC，那么在立体空间中，到A，B，C三点距离相等的点在一条垂直于三角形ABC所在平面的直线上，且经过三角形ABC的外心。
考虑整个直三棱柱，可以很直观地证明出存在一个点O，到此直三棱柱的六个顶角距离相等，并且令D，D'分别为正三角形ABC，正三角形A’B‘C’的外心。则点O为直线DD‘的中点。
现在做M，N，P分别为AA’，BB‘，CC’的中点，则三角形MNP也为一个边长为a的正三角形，且点O在形内，并且有：
AM=a/2；MO=(√3)a/3（正三角形四心合一，垂线长度为(√3)a/2，外心在2/3处，所以为
（(√3)a/2）*（2/3）=(√3)a/3）。于是通过勾股可得AO^2=AM^2+MO^2（角AMO明显为直角），于是得到：
AO=√【(a^2)/4)+(a^2)/3)】=(√21)a/6，这就是球体的半径。
由球体表面积公式可得：
S=4*π*R^2 =4*π*（21a^2）/36=（7*π*a^2）/3=7.33a^2 (π取3.14)。