Question

如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是

如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD．

Answer 1

证明见解析

证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°。 ∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB。∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行）。 ∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形。 （2）连接BE。 ∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等边三角形。 ∴EB=EF，∠EBF=60°。 ∵DC=EF，∴EB=DC。 ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC。 ∴∠EBF=∠ACB。∴△AEB≌△ADC（SAS）。∴AE=AD。 （1）由△ABC是等边三角形得到∠B=60°，而∠EFB=60°，由此可以证明EF∥DC，而DC=EF，然后即可证明四边形EFCD是平行四边形； （2）如图，连接BE，由BF=EF，∠EFB=60°可以推出△EFB是等边三角形，然后得到EB=EF，∠EBF=60°，而DC=EF，由此得到EB=DC，又△ABC是等边三角形，所以得到∠ACB=60°，AB=AC，由SAS即可证明△AEB≌△ADC，利用全等三角形的性质就证明AE=AD。