Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB= 6 ，点E是棱PB的中点．（1

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB= 6 ，点E是棱PB的中点．（1）求直线AD与平面PBC的距离；（2）若AD= 3 ，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

（1）在矩形ABCD中，AD ∥ BC，从而AD ∥ 平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离， 因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，知△PAB为等腰直角三角形， 又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB的底面ABCD内的射影， 由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC， 故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离， 在Rt△PAB中，PA=AB= 6 ， 所以AE= 1 2 PB= 1 2 PA 2 + AB 2 = 3 （2）过点D作DF⊥CE于F，过点F做FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角． 由（1）知BC⊥平面PAB，又AD ∥ BC，得AD⊥平面PAB， 故AD⊥AE，从而DE= AE 2 + AD 2 = 6 在Rt△CBE中，CE= BE 2 + BC 2 = 6 ，由CD= 6 ， 所以△CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DF=CD?sin π 3 = 3 2 2 因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG ∥ AE．且FG= 1 2 AE， 从而FG= 3 2 ，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，DG= 1 2 AD   2 + CD 2 = 3 2 ， 所以cos∠DFG= DF 2 + FG 2 - DG 2 2DF?FG = 6 3