Question

已知函数f（x）=ax-bx2（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1求证a≤2b．（2）当b＞1时，求证；对任

已知函数f（x）=ax-bx2（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1求证a≤2b．（2）当b＞1时，求证；对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件是b-1≤a≤2b．

Answer 1

解答：证明：（1）∵对任意x∈R都有f（x）≤1，
∴bx²-ax+1≥0恒成立，
∴△=a²-4b≤0，
∴a≤2

b

．
（2）∵|f（x）|≤1?-1≤ax-bx²≤1
?

b≤ a x + 1 x2 b≥ a x ? 1 x2

x∈[0，1]
 (

a

x

+

1

x2

)min＝a+1∴b≤a+1，
(

a

x

?

1

x2

)max＝

a2 4 (a≥2) a?1(0＜a＜2)

且

a2

4

?(a?1)≥0，
∴

a2

4

≤b≤a+1∴?b?1≤a≤2

b

．