Question

游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来．我们把这种情形抽象为图的模型：弧形轨道的

游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来．我们把这种情形抽象为图的模型：弧形轨道的下端与竖直圆轨道相接，质量为m的小球从弧形轨道上端滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动．实验发现，只要h大于一定值，小球就可以顺利通过圆轨道的最高点．如果已知圆轨道的半径为R，不考虑摩擦等阻力．（1）要使小球能够做完整的圆周运动，则h至少是多少？（2）若在竖直空间中施加一竖直向下的匀强电场E=5×106V/m，已知小球质量m=6kg，且让小球带电q=10-4C，则要使小球能够做完整的圆周运动，则h′至少是多少？

Answer 1

（1）小球在圆轨道上运动恰好能通过最高点时小球只受重力作用，根据合力提供向心力此时在最高点小球运动速度满足：mg=m

v2

R

可得v=

gR

由小球从最高点滑下至运动到圆周最高点的过程中由动能定理有：
mg(h-2R)=

1

2

mv2-0
由此可得h=

mg2R+ 1 2 mv2

mg

=2R+

v2

2g

=

5

2

R
（2）小球带电时，小球所受电场力方向向下，此时小球所受合力F=mg+qE，根据牛顿第二定律知，小球所受合力产生的加速度为：
a=g+

qE

m

小球从h′高处下落至圆周最高点过程中满足动能定理有：
ma(h′-2R)=

1

2

mv2-0
由此可得：h′=

ma2R+ 1 2 mv2

ma

=2R+

v2

2a

=2R+

( aR )2

2a

=

5

2

R
答：（1）要使小球能够做完整的圆周运动，则h至少是

5R

2

；
（2）若在竖直空间中施加一竖直向下的匀强电场E=5×10⁶V/m，已知小球质量m=6kg，且让小球带电q=10^-4C，则要使小球能够做完整的圆周运动，则h′至少是

5R

2

．