Question

在数列{an}中，a1=1，对任意的正整数n，都有（1-an+1）（2+an）=2，且an≠0．（Ⅰ）求证：{1an+1}是等比

在数列{an}中，a1=1，对任意的正整数n，都有（1-an+1）（2+an）=2，且an≠0．（Ⅰ）求证：{1an+1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和．

Answer 1

（Ⅰ）∵（1-a_n+1）（2+a_n）=2，
∴a_n-2a_n+1-a_na_n+1=0，
即

1

an+1

?

2

an

＝1，
即

1

an+1

+1＝2(

1

an

+1)，
又

1

a1

+1＝2，
∴{

1

an

+1}是首项为2，公比q=2的等比数列；
（Ⅱ）∵{

1

an

+1}是首项为2，公比q=2的等比数列；
∴

1

an

+1＝2?2n?1＝2n，
即

1

an

＝2n?1，则

n

an

＝n(2n?1)，
则数列{

n

an

}的前n项和Sn＝2?1+2(2n?1)+…+n（2ⁿ-1）=（2+2×2²+…+n×2ⁿ）-（1+2+…+n），
设T=2+2×2²+…+n×2ⁿ，
则2T=2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，
∴-T=2+2²+2³+…-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
即T=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2-

n(n+1)

2

．