Question

椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P，使得c?PF2=a?P

椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P，使得c?PF2=a?PF1则该椭圆离心率的取值范围是______．

Answer 1

设点P的横坐标为x，∵c?PF₂=a?PF₁ 即|PF₁|=e|PF₂|，则由椭圆的定义可得 e（x+

a2

c

）=e?e（

a2

c

-x），
∴x=

c?a

e(e+1)

，由题意可得-a≤

c?a

e(e+1)

≤a，∴-1≤

e?1

e(e+1)

≤1，
∴

e?1 ≥?e2? e e?1 ≤e2+ e

，∴

2

-1≤e＜1，则该椭圆的离心率e的取值范围是[

2

?1，1），
故答案为：[

2

?1，1）．