Question

椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左右焦点为f1、f2,点p在椭圆上，且pf1垂直pf2,|pf1|=4

椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左右焦点为f1、f2,点p在椭圆上，且pf1垂直pf2,|pf1|=4/3,|pf2|=14/3.求(1)椭圆C的方程。(2)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程。

Answer 1

解法一：
（Ⅰ）∵点P在椭圆C上
∴2a＝|PF1|＋|PF2|＝6，a＝3．
在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝√（|PF2|^2－|PF1|^2）＝2√5
∴椭圆的半焦距c＝√5，从而b2＝a2－c2＝4
∴椭圆C的方程为x^2/9＋y^2/4＝1．
（Ⅱ）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）。
已知圆的方程为（x＋2）2＋（y－1）2＝5
∴圆心M的坐标为（－2，1），从而可设直线l的方程为
y＝k（x＋2）＋1，代入椭圆C的方程得：
（4＋9k2）x2＋（36k2＋18k）x＋36k2＋36k－27＝0．
∵A，B关于点M对称
∴（x1＋x2）/2＝－（18k^2＋9k）/（4＋9k^2）＝－2，解得k＝8/9
∴直线l的方程为y＝（8/9）（x＋2）＋1，即8x－9y＋25＝0．
（经检验，所求直线方程符合题意。）

解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）已知圆的方程为（x＋2）2＋（y－1）2＝5
∴圆心M的坐标为（－2，1）。设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）。
由题意x1≠x2且
x1^2/9＋y1^2/4＝1，①
x2^2/9＋y2^2/4＝1．②
由①－②得
（x1－x2）（x1＋x2）/9＋（y1－y2）（y1＋y2）/4＝0③
∵A，B关于点M对称
∴x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2
代入③得（y1－y2）/（x1－x2）＝8/9，即直线l的斜率为8/9
∴直线l的方程为y－1＝（8/9）（x＋2），即8x－9y＋25＝0．
（经检验，所求直线方程符合题意。）