Question

已知函数f（x）=ax-lnx，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处切线l的方程，并判断l与f

已知函数f（x）=ax-lnx，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处切线l的方程，并判断l与f（x）的图象交点的个数；（Ⅱ）若f（x）存在零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f（1）=1，
k₁=f′（1）=0，所以切线l的方程为y=1；
作F（x）=f（x）-1=x-lnx-1，x＞0，则F′（x）=1-

1

x

，解F′（x）=0得x=1．

x	（0，1）	1	（1，+∞）
F′（x）	+	0	-
F（x）	↘	最小值	↗

所以任意x＞0且x≠1，F（x）＞0，f（x）＞
即函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的上方，l与f（x）的图象交点的个数为1个；
（Ⅱ）若f（x）存在零点，则ax-lnx=0有解，
∴a=

lnx

x

（x＞0），
令y=

lnx

x

（x＞0），则y′=

1?lnx

x2

，
∴0＜x＜e，y′＞0，x＞e，y′＜0，
∴函数在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
∴y≤

1

e

，
∴a≤

1

e

．