Question

△ABC中，AB=AC，D、E分别是边AC、BC上的一点，AE、BD交于点F，连接DE，且∠BAC=∠AFD=α，（1）如图1，

△ABC中，AB=AC，D、E分别是边AC、BC上的一点，AE、BD交于点F，连接DE，且∠BAC=∠AFD=α，（1）如图1，若α=90°，线段AD、AC具有怎样的数量关系时，∠ADB=∠CDE；（2）如图2，若α=60°，线段AD、AC具有怎样的数量关系时，∠ADB=∠CDE；上述两个问题选择其中一个解答，选择（1）问满分7分，选择（2）问满分11分．

Answer 1

解答：证明：（1）过点C作AC垂线交AE延长线于G，
则∠ACG=90°，
∵∠BAC=∠AFD=90°，
∴∠ABD+∠BAF=90°，∠BAF+∠CAG=90°，
∴∠ABD=∠CAG，
在△ABD和△CAG中，

∠ABD＝∠CAG AB＝CA ∠BAD＝∠ACG＝90°

，
∴△ABD≌△CAG（ASA），
∴AD=CG，∠ADB=∠G，
当∠ADB=∠CDE时，
则∠CDE=∠G，
∵∠ACG=∠BAC=90°，
∴AB∥CG，
∴∠GCE=∠ABC=∠DCE=45°，
在△CDE和△CGE中，

∠CDE＝∠G ∠DCE＝∠GCE CE＝CE

，
∴△CDE≌△CGE（AAS），
∴CG=CD=AD，
∴AD=

1

2

AC，
∴当AD=

1

2

AC时，∠ADB=∠CDE；

（2）∵∠AFD=∠BAC=60°，
又∵∠AFD=∠ABD+∠BAE=60°，∠BAE+∠EAC=60°，
∴∠ABD=∠EAC，
∵AB=AC，
∴∠C=∠BAC=60°，
在△ABD和△CAE中，

∠ABD＝∠EAC AB＝AC ∠BAD＝∠C

，
∴△ABD≌△CAE（ASA），
∴AD=CE，∠ADB=∠AEC，
当∠ADB=∠CDE时，
则∠AEC=∠CDE，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CEA，
∴

CE

CA

＝

CD

CE

，
∴CE²=CD?CA，
∴AD²=（AC-AD）?AC，
即AD²+AD?AC-AC²=0，
∴AD1＝

?1+ 5

2

AC，AD2＝

?1? 5

2

AC（不合题意，舍去），
∴当AD＝

5 ?1

2

AC时，∠ADB=∠CDE．