Question

(2+x)e^(1/x)斜渐近线

Answer 1

x->0-

原式=lim(x->0+)(2+x)e^(1/x)

=+∞

所以

x=0是一条水平渐近线；

b=lim(x->∞)[(2+x)e^(1/x)-x]

=lim(t->0)[(2+1/t)e^(t)-1/t]

=lim(t->0)[(2t+1)e^(t)-1]/t

=lim(t->0)[2e^t +(2t+1)e^t]/1

=2+1

=3

所以斜渐近线为y=x+3

求法证明

直线y=Ax+B与x轴正向夹角为α，则有

PN=PM·cosα=[f(x)-(Ax+B)]cosα 。

按照斜渐近线定义，我们知道有limPN=0，而cosα是常数，所以。

lim[f(x)-(Ax+B)]=0 。

所以可得:

A=lim[f(x)/x] ，B=lim [f(x)-ax] 。

反之，亦然，证毕。

Answer 2

x->0-
原式=lim(x->0+)(2+x)e^(1/x)
=+∞
所以
x=0是一条水平渐近线；

k=lim(x->∞)[(2+x)e^(1/x)]/x
=lim(x->∞)[(2/x+1)e^(1/x)]
=(0+1)×1
=1
b=lim(x->∞)[(2+x)e^(1/x)-x]
=lim(t->0)[(2+1/t)e^(t)-1/t]
=lim(t->0)[(2t+1)e^(t)-1]/t
=lim(t->0)[2e^t +(2t+1)e^t]/1
=2+1
=3
所以
斜渐近线为y=x+3