Question

如图所示，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角a（0°＜a＜90°）得△A 1 BC 1

如图所示，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角a（0°＜a＜90°）得△A 1 BC 1 ， A 1 B交AC于点E，A 1 C 1 分别交AC、BC于D、F两点。 （1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA 1 与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，当a=30°时，试判断四边形BC 1 DA的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求ED的长。

Answer 1

（1） （2）四边形 是菱形.（3）ED

试题分析：（1）根据等边对等角及旋转的特征可得 即可证得结论； （2）先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，再得到邻边相等即可判断结论； （3）过点 作 于点 ，解 可得AE的长，结合菱形的性质即可求得结果。 （1） 证明：（证法一） 由旋转可知， ∴ ∴ 又 ∴ 即 （证法二） 由旋转可知， 而 ∴ ∴ ∴ 即 （2）四边形 是菱形. 证明： 同理 ∴四边形 是平行四边形. 又 ∴四边形 是菱形. （3）过点 作 于点 ，则 在 中， 由（2）知四边形 是菱形， ∴ ∴ 点评：解答本题的关键是掌握好旋转的性质，平行四边形判定与性质，的菱形的判定与性质，选择适当的条件解决问题。