Question

已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响．试求：（1）

已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响．试求：（1）卫星绕地球运行的第一宇宙速度v 1 的大小（2）若卫星绕地球做匀速直线运动且运行周期为T，求卫星运行的轨道半径r（3）由题干所给条件，推导出地球平均密度的ρ表达式．

Answer 1

（1）设卫星的质量为m，地球的质量为M，根据万有引力定律， 物体在地球表面附近满足 GMm R 2 =mg， 第一宇宙速度是指卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度， 卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力，即 GMm R 2 =m v 21 R 2 或m v 21 R 2 =mg， 联立解得：v 1 = Rg ． （2）根据卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力得： GMm r 2 =m 4 π 2 T 2 r， 联立 解得：r= 3 g R 2 T 2 4 π 2 ． （3）将地球看成是半径为R的均匀球体，其体积为V= 4 3 πR 3 地球的平均密度ρ= M V ，联立解得：ρ= 3g 4πGR ． 答：（1）卫星绕地球运行的第一宇宙速度v 1 的大小为 Rg ； （2）若卫星绕地球做匀速直线运动且运行周期为T，卫星运行的轨道半径r为 3 g R 2 T 2 4 π 2 ； （3）地球平均密度的ρ表达式为 3g 4πGR ．