Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：①函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称；②对?x∈R，f（34-x）=f（3

已知定义在R上的函数f（x）满足：①函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称；②对?x∈R，f（34-x）=f（34+x）成立；③当x∈（-32，-34]时，f（x）=log2（-3x+1）．则f（2014）=______．

Answer 1

定义在R上的函数f（x）满足：函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称；说明函数f（x）是奇函数．
即f（x）=-f（-x）．
对?x∈R，f（

3

4

-x）=f（

3

4

+x）成立；所以对?x∈R，f（

3

4

-x）=f（

3

4

+x）=-f（x-

3

4

）成立；可得f（3+x）=f（x），函数的周期为3，
∵当x∈（-

3

2

，-

3

4

]时，f（x）=log₂（-3x+1）．
∵函数是奇函数，
∴x∈（

3

4

，

3

2

），f（x）=-log₂（3x+1）．
∴f（2014）=f（671×3+1）=f（1）=-log₂（3×1+1）=-2
故答案为：-2．