Question

已知函数y=4x-3?2x+3，当其值域为[1，7]时，x的取值范围是______

已知函数y=4x-3?2x+3，当其值域为[1，7]时，x的取值范围是______．

Answer 1

令t=2^x，可得y=4^x-3?2^x+3=t²-3t+3，（t＞0）
∵函数的值域为[1，7]，
∴解不等式1≤t²-3t+3≤7，可得

t2?3t+2≥0 t2?3t?4≤0

解此不等式组，得0＜t≤1或2≤t≤4
∴0＜2^x≤1或2≤2^x≤4，即0＜2^x≤2⁰或2¹≤2^x≤2²
因此，x的取值范围是（-∞，0]∪[1，2]
故答案为：（-∞，0]∪[1，2]

Answer 2

已知函数y=4x-3•2x+3，当其值域为[1，7]时，x的取值范围是（-∞，0]∪[1，2]。

解：
令t=2x，可得y=4x-3•2x+3=t2-3t+3，（t＞0）
∵函数的值域为[1，7]，
∴解不等式1≤t2-3t+3≤7，可得t2-3t+2≥0 t2-3t-4≤0
解此不等式组，得0＜t≤1或2≤t≤4

∴0＜2x≤1或2≤2x≤4，即0＜2x≤20或21≤2x≤22
因此，x的取值范围是（-∞，0]∪[1，2]。