Question

已知函数f（x）=12ax2-2lnx，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知点P（0，1）和函数f（x）图象

已知函数f（x）=12ax2-2lnx，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知点P（0，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．

Answer 1

函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=ax-

2

x

=

ax2?2

x

，
（Ⅰ）当a＜0时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a=0时，f′（x）=?

2

x

＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，令f′（x）=0，结合x＞0，解得x＝

2 a

，当x∈（0，

2 a

）时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，

2 a

）上单调递减；当x∈（

2 a

，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（

2 a

，+∞）上单调递增；
综上所述：当a≤0时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，函数f（x）在（0，

2 a

）上单调递减，在（

2 a

，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）因为对任意m∈[1，e]，直线PM的倾斜角都是钝角，所以对任意m∈[1，e]，直线PM的斜率小于0，
即

f(m)?1

m

＜0，所以f（m）＜1，即f（x）在区间[1，e]上的最大值小于1．
又因为f′（x）=ax-

2

x

=

ax2?2

x

，令g（x）=ax²-2，x∈[1，e]
（1）当a≤0时，由（Ⅰ）知f（x）在区间[1，e]上单调递减，所以f（x）的最大值为f（1）=

1

2

a＜1，所以a＜2，
故a≤0符和题意；
（2）当a＞0时，令f′（x）=0，得x＝

2 a

，
①当

2 a

≤1，即a≥2时，f（x）在区间[1，e]上单调递增，所以函数f（x）的最大值f（e）=

1

2

ae2?2＜1，解得a＜

6

e2

，故无解；
②当

2 a

≥e，即a≤

2

e2

时，f（x）在区间[1，e]上单调递减，函数f（x）的最大值为f（1）=

1

2

a＜1，解得a＜2，故0＜a＜

2

e2

；
③当1＜

2 a

＜e，即

2

e2

＜a＜2时，函数f（x）在（1，

2 a

）上单调递减；当x∈（

2 a

，e）上单调递增，故f（x）在区间x∈[1，e]上的最大值只能是f（1）或f（e），
所以

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