Question

如图所示，光滑斜轨和光滑圆轨相连，固定在同一竖直面内，圆轨的半径为R，一个小球（可视为质点），从离

如图所示，光滑斜轨和光滑圆轨相连，固定在同一竖直面内，圆轨的半径为R，一个小球（可视为质点），从离水平面高h处由静止自由下滑，由斜轨进入圆轨．求：（1）为了使小球在圆轨内运动的过程中始终不脱离圆轨，h应至少多高？（2）若小球到达圆轨最高点时圆轨对小球的压力大小恰好等于它自身重力大小，那么小球开始下滑时的h是多大？

Answer 1

（1）小球刚好不脱离圆轨，在最高点由牛顿第二定律得：mg＝m

v2

R

①
小球由斜轨至圆轨最高点过程，由动能定理得：mg（h-2R）=

1

2

mv2②
联立①②解得：h＝

5

2

R
故h≥

5

2

R时小球在圆轨内运动的过程中始终不脱离圆轨，高度至少为

5

2

R．
（2）在最高点对小球由牛顿第二定律得：F_N+mg=m

v2

R

③
又有：F_N=mg④
小球由斜轨至圆轨最高点过程，由动能定理得：mg（h-2R）=

1

2

mv2⑤
联立③④⑤解得：h=3R；
答：（1）h应至少为2.5R；（2）球开始下滑时的h是3R．