Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y 2 =4x相交于A、B两点，且 OA ? OB

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y 2 =4x相交于A、B两点，且 OA ? OB =-4 ．（1）求直线l恒过一定点的坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

（1）设l：x=ty+b代入抛物线y 2 =4x，消去x得y 2 -4ty-4b=0设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ） 则y 1 +y 2 =4t，y 1 y 2 =-4b，∴ OA ? OB = x 1 x 2 + y 1 y 2 =（ty 1 +b）（ty 2 +b）+y 1 y 2 =b 2 -4b 令b 2 -4b=-4，∴b 2 -4b+4=0，∴b=2． ∴直线l过定点（2，0）． （2）设线段AB的中点M（x，y）， ∵A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）在曲线y 2 =4x上 ∴y 1 2 =4x 1 ，y 2 2 =4x 2 两式作差得（y 2 -y 1 ）（y 2 +y 1 ）=4（x 2 -x 1 ） 即 y 2 -y 1 x 2 -x 1 = 4 y 1 + y 2 =k 则 y= y 1 + y 2 2 = 2 k y=k(x-2) …（12分） ∴线段AB的中点M的轨迹方程  y 2 =2（x-2）…（14分）