Question

设λ1，λ2为方阵A的两个不同的特征值，α1，α2为A相应于λ1的两个线性无关的特征向量，α3，α4为A相应

设λ1，λ2为方阵A的两个不同的特征值，α1，α2为A相应于λ1的两个线性无关的特征向量，α3，α4为A相应于λ2 的两个线性无关的特征向量，证明向量组α1，α2，α3，α4线性无关．

Answer 1

证明：由题意，Aα₁=λ₁α₁，Aα₂=λ₁α₂，Aα₃=λ₂α₃，Aα₄=λ₂α₄，
设k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃+k₄α₄=0，则
用矩阵A左乘上式两端，得
k₁Aα₁+k₂Aα₂+k₃Aα₃+k₄Aα₄=0
∴k₁λ₁α₁+k₂λ₁α₂+k₃λ₂α₃+k₄λ₄α₄=0…（*）
而A（k₁α₁+k₂α₂）=λ₁（k₁α₁+k₂α₂），A（k₃α₃+k₄α₄）=λ₂（k₃α₃+k₄α₄）
即k₁α₁+k₂α₂是A相应于λ₁的特征向量，k₃α₃+k₄α₄是A相应于λ₂的特征向量
又不同特征值所对应的特征向量，是线性无关的
因此k₁α₁+k₂α₂和k₃α₃+k₄α₄是线性无关的
又由（*）得
λ₁（k₁α₁+k₂α₂）+λ₂（k₃α₃+k₄α₄）=0
且λ₁，λ₂为方阵A的两个不同的特征值
∴k₁α₁+k₂α₂=0
和k₃α₃+k₄α₄=0
而α₁，α₂为两个线性无关的特征向量，
α₃，α₄为两个线性无关的特征向量
∴k₁=k₂=k₃=k₄=0
∴向量组α₁，α₂，α₃，α₄线性无关．