Question

如图，正方形ABCD中，P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，过点A作AF⊥AE交DP于点F，

如图，正方形ABCD中，P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．（1）若AE=1，求EF的长；（2）求证：PF=EP+EB．

Answer 1

（1）解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠BAE+∠BAF=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∵BE⊥DP，
∴∠ABE+∠BPE=90°，
又∵∠ADF+∠APD=90°，∠BPE=∠APD（对顶角相等），
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE和△ADF中，

∠ABE＝∠ADF AB＝AD ∠BAE＝∠DAF

，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵AE=1，
∴EF=

2

AE=

2

×1=

2

；

（2）证明：过点A作AM⊥EF于M，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AM=MF=EM，
∵P是AB的中点，
∴AP=BP，
在△AMP和△BEP中，

∠APM＝∠BPE ∠AMP＝∠BEP＝90° AP＝BP

，
∴△AMP≌△BEP（AAS），
∴EP=PM，EB=AM，
∵PF=PM+MF，
∴PF=EP+EB．