Question

求函数f（x）=2sinx+cosx，x∈[0，π]的值域

求函数f（x）=2sinx+cosx，x∈[0，π]的值域．

Answer 1

f（x）=

2

sinx+cosx
=

3

（

6

3

sinx+

3

3

cosx）
=

3

sin（x+α），（其中sinα=

3

3

）
∵x∈[0，π]，∴x+α∈[α，π+α]，
由正弦函数的性质得，
当x+α=

π

2

，即x=

π

2

-α时，f（x）_max=

3

，
当x+α=π+α时f（x）_min=

3

sin（π+α）=-

3

sinα=?

3

×

3

3

=-1；
∴函数f（x）=

2

sinx+cosx，x∈[0，π]的值域为[-1，

3

]．