Question

如图（a）所示，间距为l、电阻不计的光滑导轨固定在倾角为θ的斜面上．在区域I内有方向垂直于斜面的匀强

如图（a）所示，间距为l、电阻不计的光滑导轨固定在倾角为θ的斜面上．在区域I内有方向垂直于斜面的匀强磁场，磁感应强度恒为B不变；在区域Ⅱ内有垂直于斜面向下的匀强磁场，其磁感应强度Bt的大小随时间t变化的规律如图（b）所示．t=0时刻在轨道上端的金属细棒ab从如图位置由静止开始沿导轨下滑，同时下端的另一金属细棒cd在位于区域I内的导轨上也由静止释放．在ab棒运动到区域Ⅱ的下边界EF之前，cd棒始终静止不动，两棒均与导轨接触良好．已知cd棒的质量为m、电阻为R，ab棒的质量、阻值均未知，区域Ⅱ沿斜面的长度为l，在t=tx时刻（tx未知）ab棒恰好进入区域Ⅱ，重力加速度为g．求：（1）区域I内磁场的方向；（2）通过cd棒中的电流大小和方向；（3）ab棒开始下滑的位置离区域Ⅱ上边界的距离；（4）ab棒开始下滑至EF的过程中，回路中产生总的热量．（结果用B、l、θ、m、R、g表示）

Answer 1

（1）由楞次定律可知，流过cd的电流方向为从d到c，cd所受安培力沿导轨向上，故由左手定则可知，I内磁场垂直于斜面向上．
故区域I内磁场的方向垂直于斜面向上．
（2）cd棒平衡，所以有：BIl=mgsinθ
故解得：I=

mgsinθ

Bl

，电流方向d→c．
故通过cd棒中的电流大小I=

mgsinθ

Bl

，电流方向d→c．
（3）前、后回路感应电动势不变，

△Φ

△t

=Blv_x，即有：

(2B?B)

tx

l2=Blv_x，
解得：l=v_xt_x                                                        
ab棒进入区域Ⅱ之前不受磁场力的作用，做匀加速直线运动，
S₁=

1

2

（0+v）t_x=0.5l          
故ab棒开始下滑的位置离区域Ⅱ上边界的距离为0.5l．                                   
（4）ab棒进入区域Ⅱ后作匀速直线运动，t₂=t_x，总时间：
t_总=t_x+t₂=2t_x
电动势：E=Blv_x不变
总热量：Q=EIt_总=2mgv_xt_xsinθ=2mglsinθ
故回路中产生总的热量为：Q=2mglsinθ．