令p=y'
则y"=pdp/dy
代入方程得:
ypdp/dy-p²-1=0
ypdp/dy=p²+1
pdp/(p²+1)=dy/y
d(p²)/(p²+1)=2dy/y
积分: ln(p²+1)=2ln|y|+2lnC
得:p²+1=(Cy)²,
即y'=√[(Cy)²-1]
d(Cy)/√[(Cy)²-1]=Cdx
积分: ln[Cy+√((Cy)²-1)]=Cx+C1
扩展资料
微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。
微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛,可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题,如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题,很多可以用微分方程求解。此外,微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。
2024-12-24 广告
具体如下:
微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。
微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛,可以解决许多与导数有关的问题。
物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题,如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题,很多可以用微分方程求解。此外,微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。
数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向,但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解,仍然可以确认其解的部分性质。
在无法求得解析解时,可以利用数值分析的方式,利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析,而许多数值方法可以计算微分方程的数值解,且有一定的准确度。
扩展资料:
含有未知函数的导数,如 的方程是微分方程。 一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程。未知函数是一元函数的,叫常微分方程;未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程。
第一,能求得通解的方程显然是很少的。在常微分方程方面,一阶方程中可求得通解的,除了线性方程、可分离变量方程和用特殊方法变成这两种方程的方程之外,为数是很小的。
如果把求通解看作求微商及消去法的某一类逆运算,那么,也和熟知的逆运算一样,它是带试探性而没有一定的规则的,甚至有时是不可能的(J.刘维尔首先证明黎卡提方程不可能求出通解),何况这种通解也是随着其自由度的增多而增加其求解的难度的。
第二,当人们要明确通解的意义的时候(在19世纪初叶分析奠基时期显然会考虑到此问题)就会碰到严重的含糊不清之处,达布在他的教学中经常提醒大家注意这些困难。这主要发生在偏微分方程的研究中。
第三,微分方程在物理学、力学中的重要应用,不在于求方程的任一解,而是求得满足某些补充条件的解。A.-L.柯西认为这是放弃“求通解”的最重要的和决定性的原因。这些补充条件即定解条件。求方程满足定解条件的解,称之为求解定解问题。
微分方程的约束条件是指其解需符合的条件,依常微分方程及偏微分方程的不同,有不同的约束条件。
常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值,若是高阶的微分方程,会加上其各阶导数的值,有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。
若是二阶的常微分方程,也可能会指定函数在二个特定点的值,此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值,称为狄利克雷边界条件(第一类边值条件),此外也有指定二个特定点上导数的边界条件,称为诺伊曼边界条件(第二类边值条件)等。
偏微分方程常见的问题以边界值问题为主,不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。
参考资料:百度百科-微分方程
则y"=pdp/dy
代入方程得:
ypdp/dy-p²-1=0
ypdp/dy=p²+1
pdp/(p²+1)=dy/y
d(p²)/(p²+1)=2dy/y
积分: ln(p²+1)=2ln|y|+2lnC
得:p²+1=(Cy)²,
即y'=√[(Cy)²-1]
d(Cy)/√[(Cy)²-1]=Cdx
积分: ln[Cy+√((Cy)²-1)]=Cx+C1
得:p²+1=(Cy)²,
即y'=√[(Cy)²-1]
根号开得如此潇洒,正负号去哪了?
答案是 y=1/2C1(e^(C1+C2+e^(-C1x-C2)),关键在于常数项的来龙去脉,在细化下吧。
得:p²+1=(Cy)²,
即y'=±√[(Cy)²-1]
d(Cy)/√[(Cy)²-1]=±Cdx
积分: ln[Cy+√((Cy)²-1)]=±Cx+lnC1
Cy+√((Cy)²-1)=C1e^(±Cx)
所以yy'=y+c1 ,c1为常数
ydy/dx=y+c1
y/(y+c1)dy=dx
[1-c1/(y+c1)]dy=dx
y-c1ln(y+c1)=x+c
所以解为x=y-c1*ln(y+c1)+c,c,c1为常数