Question

问一道高数极限的基础问题，如图，求详解

问下0+ 和0- 极限分别是怎么求的？
如楼下所说， 为社么求0+与0-式子不一样

Answer 1

f(0-)：x趋向于0-，1/x趋向于负无穷，e^(1/x)趋向于0，接下来求分式的极限，你应该会了
f(0+)：x趋向于0+，1/x趋向于正无穷，e^(1/x)趋向于正无穷，接下来e^(1/x)整体换成t，t趋向于无穷时，(t-1)/(t+1)的极限也不难求

Answer 2

注意看指数函数y=e^x的图像，当x→+∞时，y→+∞，当x→-∞时y→0。

当x→0+时，1/x→+∞，e^(1/x)→+∞，分子分母同除以e^(1/x)，而e^(-1/x)→0，所以极限是(1-0)/(1+0)=1。

当x→0-时，1/x→-∞，e^(1/x)→0，所以极限是(0-1)/(0+1)=-1。

所以f(0-)=-1，f(0+)=1。

Answer 3

f(0-)
=lim(x->0-) f(x)
=lim(x->0-) (e^(1/x) -1)/(e^(1/x) + 1)
= (0-1)/(0+1)
=-1

f(0+)
=lim(x->0+) f(x)
=lim(x->0+) (e^(1/x) -1)/(e^(1/x) + 1)
=lim(x->0+) ( 1- 1/e^(1/x))/(1 + 1/e^(1/x) )
=(1-0)/(1+0)
=1

追问

为什么0+的时候划线处的式子要这么写？与0-不同

追答

x->0+
1/x -> ∞
1/e^(1/x) -> 0

x->0-
1/x->-∞
e^(1/x) -> 0

追问

不好意思，我是说为什么求f(0-)时式子是lim(x->0-) (e^(1/x) -1)/(e^(1/x) + 1)
而求f(0+)时式子是=lim(x->0+) ( 1- 1/e^(1/x))/(1 + 1/e^(1/x) )
为什么写法不一样？

追答

x->0+ >0
1/x -> +∞

e^(1/x) -> +∞
1/e^(1/x) -> 0

x->0- -∞
e^(1/x) -> 0