Question

如图,在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90º，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45º

若BN=1，CN=3，求MN的长。

Answer 1

△NAM∽△NBA。得到MN/NA=NA/NB

同理△MAN∽△MCA,得到MN/MA=MA/MC

设MN=x,得到BC=4+x，AB=AC=（4+x）/(根号2）

代入，得到AM^2=X(X+3)

AN^2=X(X+1)

由余弦定理

X*X=AM^2+AN^2-2*AM*AN*Cos(45°）

代入化简x=根号下（10）

Answer 2

∵AM=AN
∴∠AMN=∠ANM
∵AB=AC
∴∠B=∠C
在△ABN和△ACM中
∠B=∠C
∠AMN=∠ANM
AB=AC
∴△ABN≌△ACM
∴BN=CM
∵BM+MN=BN,CN+MN=CM
∴BN=CN
②将⊿ABM绕A逆时针旋转90º得到⊿ACE,连结NE ∴BM＝CE,∠NCE＝45º＋45º＝90º
∴ NE²＝CE²＋NC²,⊿AMN≌⊿AEN﹙SAS﹚
∴MN＝EN
∴MN²＝BM²＋NC²