Question

线性代数题，已知矩阵A+B=AB，证明AB=BA

Answer 1

I为单位矩阵
(A-I)(B-I)
=A(B-I)-I(B-I)
=AB-A-B+I
=I
因此,(A-I)和(B-I)互为逆矩阵
因此
(B-I)(A-I)=I
即BA-A-B+I=I
BA=A+B=AB

Answer 2

证明：
A^2-2AB=E A (A-2B)=E
说明A可逆,且A的逆为A -2B
上式变形得到B=(A^2-E )/(2A)
代入AB-BA+A化简得到
AB-BA+A=A(A^2-E )/(2A)-(A^2-E )A/(2A)+A（此时才能把AB-BA约去）
得到AB-BA+A=A 得以证明。

Answer 3

AB=A+B
AB-A-B-E+E=0
AB-A-B-E=E
(A-E)(B-E)=E
矩阵（A-E)和（B-E）可逆
所以(B-E)(A-E)=E
所以BA-B-A+E=E
BA=A+B=AB

Answer 4

让我用小学知识回答你。A+B=AB
B+A=BA
AB=BA

Answer 5

详情如图所示

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