Question

设x+2y=1,求x²+y²的最小值；若x≥0,y≥0,求x²+y²的最大值。

Answer 1

x²+y²=（1-2y）²+y²=5y²-4y+1=5（y-2/5）²+1/5≥1/5当x≥0,y≥0时，x²+y²≤x²+y²+（3y²+4xy）=（x+2y）²=1

追问

你好，请问x²+y²≤x²+y²+(3y²+4xy)是怎么来的？

追答

在x²+y²的后面添加多项式(3y²+4xy)是用来配出（x+2y）²，添加的原理是当b≥0时，a≤a+b

追问

考试时怎么能及时想到用3y²+4xy来配出(x+2y）²呢，有什么技巧方法吗，谢谢。

追答

求多项式或不定方程的最大最小值，基本上是通过平方和来实现。
可以尝试逆推法，从给出的条件入手，
通过两边平方展开来获得含有所求多项式的等式。
以本题为例，求最大值时，可以先把给定的方程两边平方，得(x+2y)²=1
再将左边展开：x²+4xy+4y²=1，可以看出这里已经含有x²+y²，变换一下：
x²+y²=1-(4xy+3y²)，剩下的就很容易了。