Question

设x+2y=1,（x,y∈R）,x²+y²的最小值？

Answer 1

因为x+2y=1
所以：y=(1-x)/2,x=1-2y
y2=[(1-x)/2]2
=(1/4)x2-(1/2)x+(1/4)
x2=(1-2y)2
=4y2-4y+1
所以:x2+y2=4y2-4y+1+(1/4)x2-(1/2)x+(1/4)
=4y2-4y+1+(1/4)(1-2y)2-(1/2)(1-2y)2+(1/4)
=3y2-3y+2
这样：最小值=(5/4)

追问

但是正确答案是1/5

追答

我知道了，最后一步错了

因为x+2y=1
所以：y=(1-x)/2,x=1-2y
y2=[(1-x)/2]2
=(1/4)x2-(1/2)x+(1/4)
x2=(1-2y)2
=4y2-4y+1
所以:x2+y2=4y2-4y+1+(1/4)x2-(1/2)x+(1/4)
=4y2-4y+1+(1/4)(1-2y)2-(1/2)(1-2y)2+(1/4)
=3y2-3y+2
=5y^2-4y+1

对称轴为y=2/5，因为函数开口向上，即当y=2/5时可以取得最小。
代入就算可得最小值为1/5

追问

哦哦 知道了 谢谢

追答

这个函数的开口向上，对称轴为y=2/5我初略的给你画个图你就知道了。A点就是函数最低点，此事就是函数的最小值。

Answer 2

解;设t=x^2+y^2,因为
x+2y=1，所以x=1-2y,t=(1-2y)^2+y^2=4y^2-4y+1+y^2=5y^2-4y+1,所以当y=2/5,x=1/5时，tmin=1/5即
,x²+y²的最小值是1/5