Question

已知抛物线C的方程为y^2=4x，斜率为1/2的直线经过点P(a，0)，与抛物线C交于A、B两点，

已知抛物线C的方程为y^2=4x，斜率为1/2的直线经过点P(a，0)，与抛物线C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点D (I)当a=12时，求证：以AB为直径的圆与直线y=2x+4相切， (II)是否存在实数a，使三角形ABD是直角三角形？若存在，求a的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)
直线AB:y=(1/2)*(x-12)
x=12+2y
y^2=4x=4*(12+2y)
y^2-8y-48=0
yA+yB=8,yA*yB=-48
AB^2=(yA-yB)^2+(xA-xB)^2=5(yA-yB)^2=5*[(yA+yB)^2-4yA*yB)=5*256
r^2=AB^2/4=320
(yA+yB)/2=4
(xA+xB)/2=20
y=2x+4
2x-y+4=0
d^2=|2*20-4+4|^2/5=320=r^2
以AB为直径的圆与直线y=2x+4相切
(2)
y=(1/2)*(x-a)
x=2y+a
y^2=4*(2y+a)
y^2-8y-4a=0
yA+yB=8,yA*yB=-4a
(yA+yB)/2=4,(xA+xB)/2=8+a
线段AB的垂直平分线L:
y-4=-2*(x-8-a)
y=0
xD=10+a
D(10+a,0)
xA*xB=(2yA+a)*(2yB+a)=4yA*yB+2a*(yA+yB)+a^2
xA+xB=2(yA+yB)+2a
[yA/(xA-10-a)]*[yB/(xB-10-a)]=-1
yA*yB+xA*xB-(10+a)*(xA+xB)+(10+a)^2=0
yA*yB+4yA*yB+2a*(yA+yB)+a^2-10*[2(yA+yB)+2a]+(10+a)^2=0
-4a+4*8+2a*8+a^2-10*[2*8+2a]+(10+a)^2=0
a>0
a=-3+√23