Question

证明方程5x^4-4x+1=0在0与1之间至少有一个实根，应该要用到中值定理

Answer 1

设f(x)=5x^4-4x+1

f(0)= -3 < 0

f(1)= 2 > 0

再套用公式证明下f(x)在[0,1]区间的连续单调性，就可由中值定理得：

在x∈[0,1]区间内，至少有个实根满足f(x)=0

中值定理定义

函数与其导数是两个不同的函数；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用。微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。

是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。

拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态；中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。

中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升，下降，取极值，凹形，凸形和拐点等项的重要性态。从而能把握住函数图象的各种几何特征。在极值问题上也有重要的实际应用。

Answer 2

是用介值定理（不是中值）
令f(x)=5x^4-4x+1

有f(0)=1>0
f(1/2) = 5/16-2+1 = -11/16 <0

所以在(0,1/2)之间，有一实根

证毕

PS，其实由f(1)=2有，在(1/2,1)上还有一根，其实有两个

Answer 3

简单：设f(x)=5x^4-4x+1,
f(0)= -3 < 0
f(1)= 2 > 0,
再套用公式证明下f(x)在[0,1]区间的连续单调性，就可由中值定理得：
在x∈[0,1]区间内，至少有个实根满足f(x)=0.

Answer 4

设f(x)=5x^4-4x+1,
由f'(x)=20x^3-4=0,得x1=1/5^(1/3).
f(x1)=-3/5^(1/3)+1<0,
f(0)=1>0,
f(1)=2>0,
由f(x)的连续性知，方程f(x)=5x^4-4x+1=0在区间(0,x1),(x1,1)各有一个根。