Question

如图⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD （1

如图⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证:BD平分∠ABC
（2）当∠ODB=30º时，求证:BC=OD

Answer 1

（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点
∴∠BCA=90°
∵OD⊥AC，垂足为E
∴∠OEA=∠DEA=90°
∴OD//
∴∠ODB=∠CBD
在△OBD中，OD=OB
∴∠OBD=∠ODB
∴∠OBD=∠CBD
即BD平分∠ABC
（2）∠ODB=30º时，根据（1）可知：∠ABC=2∠OBD=2∠ODB=60º
在Rt△ABC中，∠BCA=90°，
所以：BC=AB•cos60º=1/2AB
又∵AB是⊙O的直径，OD是⊙O的半径
∴OD=1/2AB
∴BC=OD

追答

（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点
∴∠BCA=90°
∵OD⊥AC，垂足为E
∴∠OEA=∠DEA=90°
∴OD//
∴∠ODB=∠CBD
在△OBD中，OD=OB
∴∠OBD=∠ODB
∴∠OBD=∠CBD
即BD平分∠ABC
（2）∠ODB=30º时，根据（1）可知：
∠ABC=2∠OBD=2∠ODB
=60º
在Rt△ABC中，∠BCA=90°，
所以：BC=AB•cos60º=1/2AB
又∵AB是⊙O的直径，OD是⊙O的半径
∴OD=1/2AB
∴BC=OD

Answer 2

1，OD垂直AC，可知D为弧AC的中点，所以这弧CD和弧AD所对的圆周角相等，∠ABD=∠CBD，即BD平分∠ABC
2，AB是直径，所以∠C是90°，OD=OB，所以∠OBD=∠ODB=30°，∠ABC=2∠OBD=60°，所以∠A=30°，30°所对直角边等于斜边的一半，BC=½AB=OD

Answer 3

∵OD⊥AC，OD是半径
∴根据垂径定理
CE=AE
连接CD、AD
∴CD=AD
∴弧CD=弧AD
∴<CBD=<ABD
即BD平分<ABC

追答

∵OB=OD=OA
∴<ABD=<ODB=30度
∴<ABC=2<ABD=60度
∵AB是直径
∴<ACB=90度
∴<A=30度
∴BC=1/2AB=OA
∴BC=OD