Question

求大神解答，交换积分次序后求解

Answer 1

1、本题的解答，首先是画出积分区域，请参见下面的第一张图片。

2、原来的积分是先横后竖，也就是从斜线积分积到 x = u，然后 y 从1积分到u；

      改变顺序后，就是先竖后横，也就是先对 y 积分，从 y = 1 积分积到斜线，

      然后对 x 积分，从 x 积分从 1 积到 x。

1、本题的解答，首先是画出积分区域，请参见下面的第一张图片。

2、原来的积分是先横后竖，也就是从斜线积分积到 x = u，然后 y 从1积分到u；

      改变顺序后，就是先竖后横，也就是先对 y 积分，从 y = 1 积分积到斜线，

      然后对 x 积分，从 x 积分从 1 积到 x。

具体解答如下：

Answer 2

解：由积分区间可得，x∈[0,π/2]，√x≤y≤√(π/2)，即x∈[0,π/2]，x≤y^2≤π/2。交换积分次序，则有0≤x≤y^2，y∈[0,√(π/2)]。【为表述简洁一点，积分区间略写】先对x积分，∫dx/√x=2√x丨(x=0,y^2)=2y，∴原式=2∫y/[1+(tany^2)^√2]，令y^2=π/2-t^2，经变形整理有，原式=(1/2)∫d(y^2)=(1/2)y^2丨(y=0,√(π/2)=π/4。供参考。

Answer 3