Question

如图，在平面坐标系中，点A,B分别在X轴，Y轴的正半轴上，且OA=OB，另有两点C（a，b）和D（b，-a）

（且a，b均大于0）（1）连接OD,CD，求证∠ODC=45°（2）连接CO,CB,CA,若CB=1，CO=2，CA=3，求
∠OCB的度数（3）若a=b，在线段OA上有一点E，且AE=3，CE=5，AC=7，求△OCA的面积

Answer 1

(1)作CM⊥OA于M,DN⊥OA于N,连OC.
∵C(a,b),D(b,-a),a,b>0,
∴OM=a=DN,CM=b=OD,
∴△OMC≌△DNO,
∴∠COM=∠ODN,OC=OD,
∴∠COD=∠COM+∠DON=∠ODN+∠DON=90°，
∴∠ODC=45°。
(2)把△OAC绕O旋转90°至△OBC',连CC'.
则OC'=OC=2，BC'=AC=3，
∠COC'=90°，
∴∠OCC'=45°，CC'=2√2，
∴BC^2+CC'^2=BC'^2，
∴∠BCC'=90°,
∴∠OCB=135°。
(3)作CM⊥OA于M,则OM=CM=a,设ME=x,由勾股定理，
a^2+x^2=CE^2=25,①
a^2+(x+3)^2=49,②
②-①，6x+9=24,6x=15,x=5/2,
代入①，a^2=75/4,a=5√3/2，
∴△OCA的面积=（1/2）a(a+x+3)=75/8+55√3/8.