Question

如图，在三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE。

求证，AE的平方=AC乘于EC

Answer 1

因DE是垂直平分线，则角A=DBE=36；即角EBC=36，三角形BCE是等腰三角形，且AE=BE=BC；
三角形ABC相似BCE；
则有AB:AE=AE:CE，因AB=AC，则有BE²=AC*CE；

Answer 2

∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵∠A=36°
∴∠ABC=∠ACB=72°
∵DE⊥AB且AD=BD
∴AE=BE
∴△AEB是等腰三角形
∴∠A=∠ABE=36°
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=72°-36°=36°
∴∠A=∠CBE
∵∠BEC=180°-∠C-∠CBE=72°
∴∠C=∠BEC
∴△BCE是等腰三角形
∴BC=BE=AE
在△BCE和△ABC中
∠CBE=∠A ∠ABC=∠ACB
∴△BCE∽△ABC
∴BC/EC=AC/BE
即BC×BE=AC×EC
∴AE²=AC×EC