Question

设O为ΔABC的外心,且满足向量OA+向量OB=向量OC,则cos∠ACB=多少

Answer 1

注意CA=OA-OC=-OB
CB=OB-OC=-OA
所以cos∠ACB=CA·CB/|CA||CB|=OA·OB/|OA||OB|
另一方面，注意O是外心，所以|OA|=|OB|=|OC|=R（外接圆半径）
因此R^2=OC^2=(OA+OB)^2=2R^2+2OA·OB，即OA·OB=(-1/2)R^2
于是cos∠ACB=OA·OB/|OA||OB|=-1/2

Answer 2

　　因为 O 是三角形 ABC 的外心,所以 |OA|=|OB|=|OC|=r (r 为三角形 ABC 外接圆的半径) ,
由 OC=OA+OB 两边平方得 r^2=r^2+r^2+2OA*OB ,
解得 OA*OB= -r^2/2 ,
由于 |BC|=|OC-OB|=|OA|=r ,|AC|=|OC-OA|=|OB|=r ,
且 BC*AC=(OC-OB)*(OC-OA)=OC^2-OC*(OA+OB)+OA*OB=OA*OB= -r^2/2 ,
所以 cos∠ACB=CA*CB/(|CA|*|CB|)=BC*AC/(|AC|*|BC|)= (-r^2/2)/(r*r)= -1/2

Answer 3

追答

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Answer 4

∵向量OA+向量OB=向量OC
∴向量OA=向量OC-向量OB=向量BC
∴四边形OACB是平行四边形
又O是外心，∴OA=OB=OC
∴四边形OACB是菱形，且∠ACB=120°
∴cos∠ACB=cos120°=-1/2