Question

如图，已知△ABC中，∠A=60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB,P为BE、CD的交点。

求证：BD+CE=BC。（已求证，请看图）

(1）连DF,EF,则△DEF为等边三角形；（2）S△PBD+S△PCE=S△PBC;
（3）连AP，则AD+AE=根号3AP

Answer 1

(1)由角平分线性质，DF⊥BE， EF⊥CD
故∠DFE+∠BPC=180
又∠BPC=120，所以∠DFE=60.
连接AP，同理∠FDE=60,∠DEF=60，
所以△DEF为等边三角形

（2）△PBD与△PBF全等 △PCE与△PCF全等
全等则面积相等，（2）显然成立

（3）P是内心，P向AB,AC作垂线垂足为d，e，所以Pd=Pe
由全等，Dd=Ee，所以AD+AE=Ad+dD+Ae+eE=Ad-丨dD丨+丨eE丨+Ae=2Ad=2Ae=2×（√3/2）AP
所以AD+AE=√3AP

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