Question

一道高一数学题

如图，已知正三棱锥S-ABC的各侧棱长都等于底面边长a，又E,F分别是AB,CS的中点，求EF和平面ABC所成的角（用反三角函数表示）。

Answer 1

EC=SE==√3a/2
ΔSEC中，EF垂直于SC,解EF=√2a/2
（至于∠FEC为什么是EF和平面ABC所成的角，因为这是正三棱锥S-ABC，过F做垂线，垂足在CE上的。）
RTΔEFC中，sin∠FEC=FC/EC=（a/2）/（√3a/2）=√3/3
∠FEC=arcsin√3/3

Answer 2

连接SE，CE
易知，SE⊥AB，CE⊥AB
所以AB⊥平面SEC，而EF在平面SEC上
所以AB⊥EF
设F在EC上的投影是G，即GF⊥EC，
则FG同时垂直于AB和EC，所以FG垂直平面ABC
因此∠FEC就是EF和平面ABC所成的角。

SE=CE=√3/2×a
SC=a
所以sin∠FEC=(1/2)/（√3/2)
因此所求的角为arcsin(√3/3)