Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c均为实常数)满足条件f(0)=f(2)=0,且……

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c均为实常数)满足条件f(0)=f(2)=0,且方程f(x)=2x有两个相等的实数根。
（1）求函数f(x)的解析式
（2）试确定一个区间P，使得f(x)在P内单调递减且不等式f(x)>=0在P内恒成立
（3）是否存在这样的实数m,n满足m<n，使得f(x)在区间〔m,n〕内的取值范围恰好是〔4m,4n〕？如果存在，请求出m,n的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)f(0)=0推出c=0；
f（2）=0推出4a+2b=0
f（x）=2x有两等根推出ax^2+(b-2)x=0有两等根，其一根为0，另一根也为0所以b=2，a=-1
f（x）=—x^2+2x
(2)画图得区间[1,2]
(3)假设有
当n<=1,最小值为—m^2+2m,最大值为 —n^2+2n
根据n<=1,m<n得m=—2，n=0
当n>=1m<=1时，最大值是1，最小值是—n^2+2n
不符合条件
当n，m均大于等于1时最大值为—m^2+2m,最小值为 —n^2+2n
无解
所以有且m=--2,n=o