Question

已知，如图所示，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弧AB=弧AF，BF和AD相交于E 求证：AE=BE

Answer 1

证明：

延长AD与圆相交于M，根据题意，得

弧AB=弧BM=弧AF

∴所对的圆周角相等，即

∠BAD=∠ABF

∵E是AD和BF的交点

∴AE=BE

得证

祝愉快

Answer 2

考点：圆周角定理．
专题：证明题．
分析：连CF，AC，由在同圆中等弧对的圆周角相等得到∠BCA=∠ACF，∠ACF=∠ABF，由同角的余角相等得到∠BAD=∠BCA，所以∠ABF=∠BAD，即BE=AE．
解答：证明：连CF，AC，
∵弧BA=
弧AF，
∴∠BCA=∠ACF，∠ACF=∠ABF，
∵BC为圆的直径，∴∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
又AD⊥BC，∴∠ADB=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠BCA，
∴∠ABF=∠BAD，
即BE=AE．

点评：本题利用了圆周角定理，在同圆中等弧对的圆周角相等．