Question

高一数学零点

已知关于x的方程a^x=-x^2+2x+a(a＞0，且a不等于1证明对任意实数a方程总有两解
请大家帮下 谢谢

Answer 1

可以用数形结合法。

令f(x)=a^x  g(x)=-x^2+2x+a=-(x-1)^2 +a+1

f(1)=a g(1)=1+a  f(1)<g(1)

画出大致图形如下

由图可知，不管0<a<1还是a>1,f(x)与g(x)的图像都有两个交点

故原方程总有两解。

Answer 2

令 f(x) = a^x + x^2 - 2x - a = a^x + (x-1)^2 - 1-a,

f(1) = a + 0 - 1 - a = -1 < 0
设 x1, x2 为 (x-1)^2 - 1-a = 0 的两个根。
x1 = 1 + 根（a+1）,
x2 = 1 - 根（a+1）.
则有：
f(x1) = a^x1 > 0
f(x2) = a^x2 > 0
而 x2 < 1 < x1
所以 f(x) 在 (x2, 1)和(1, x1)各有一解。

所以原方程总有两解