Question

矩阵的一道题目，为什么矩阵的秩为1就可以得出图中划线部分的结论？

Answer 1

求秩为1方阵的n次方有特殊的解法。(3,1)^T表示列向量
解：A=(3,1)^T(1,3)，则
A^n=(3,1)^T(1,3)(3,1)^T(1,3)…(3,1)^T(1,3)
=(3,1)^T[(1,3)(3,1)^T][(1,3)(3,1)^T]…[(1,3)(3,1)^T](1,3)
={[(1,3)(3,1)^T]^(n-1)}(3,1)^T(1,3)
=[6^(n-1)]A
注意两点，秩为1的n阶方阵可以写成一个n维列向量乘以一个n维行向量(因为秩为1所以行之间、列之间分别成比例，找找最简行与最简列)；反过来，按照矩阵乘法的定义，一个n维行向量乘以一个n维列向量是个数！

Answer 2

秩为1的矩阵才有这个性质，那个6是矩阵主对角线上元素之和

追答

这样的矩阵可以表示为一个列向量与一个行向量的乘积
这它的n次幂经由结合律就可得到结论