Question

已知a+b+c=1,求证a方+b方+c方≥1/3

会的j教下啊！！谢谢

Answer 1

1、用柯西不等式进行证明，柯西不等式:(a1b1+ a2b2 +…+anbn)^2 ≤ (a1^2 a2^2 …an^2)(b1^2 b2^2 …bn^2)，等式成立的条件a1=a2=…=an，b1=b2=…bn。结合上述公式a+b+c=1可写成1×a+1×b+1×c=1，平方后代入柯西不等式即得证。
2、另外还可以用画图的方法解出，这一种方法有点不好想，首先a +b +c=1是一个平面，截距为1，所证即是平面上的点到原点的最小距离，由原点向平面做垂线可得距离最短点(1/3，1/3，1/3)，然后按照空间两点距离公式代入即得证。

Answer 2

a+b+c=1 (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1
2ab+2ac+2bc<=(a^2+b^2)+(a^2+c^2)+(b^2+c^2)=2(a^2+b^2+c^2)
1<=a^2+b^2+c^2+2(a^2+b^2+c^2) 则a^2+b^2+C^2>=1/3