矩阵特征值的求矩阵特征值的方法
求矩阵特征值的方法如下：
任意一个矩阵A可以分解成如下两个矩阵表达的形式： 
其中矩阵Q为正交矩阵，矩阵R为上三角矩阵，至于QR分解到底是怎么回事，矩阵Q和矩阵R是怎么得到的，你们还是看矩阵论吧，如果我把这些都介绍了，感觉这篇文章要写崩，或者你可以先认可我是正确的，然后往下看。
首先我们有A1=A=QR，则令A2=RQ,则有： 
由式（22）可知，A1和A2相似，相似矩阵具有相同的特征值，说明A1和A2的特征值相同，我们就可以通过求取A2的特征值来间接求取A1的特征值。
扩展资料：
矩阵特征值性质
若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
设λ1，λ2，…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1，2，…，m)，则x1，x2，…，xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关 。
参考资料来源：百度百科-矩阵特征值
黄先生
2024-12-27 广告
把特征值代入特征方程，运用初等行变换法，将矩阵化到最简，然后可得到基础解系。求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：
第一步：计算的特征多项式；
第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；
第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则可求出属于特征值的全部特征向量。
扩展资料
求特征向量：
设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。
判断矩阵可对角化的充要条件：
矩阵可对角化有两个充要条件：
1、矩阵有n个不同的特征向量；
2、特征向量重根的重数等于基础解系的个数。对于第二个充要条件，则需要出现二重以上的重特征值可验证（一重相当于没有重根）。
若矩阵A可对角化，则其对角矩阵Λ的主对角线元素全部为A的特征值，其余元素全部为0。（一个矩阵的对角阵不唯一，其特征值可以换序，但都存在由对应特征向量顺序组成的可逆矩阵P使P⁻¹AP=Λ）。
参考资料来源：百度百科-矩阵特征值
Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。
|mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。
如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn
同时矩阵A的迹是特征值之和：tr（A）=m1+m2+m3+…+mn
如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以通过解方程g(m)=0求得。
还可用mathematica求得。
|2 λ+2 -4| |λ-1 2 -2| 第三行互换)
|-2 -4 λ+2| |2 λ+2 -4|
=|-2 -4 λ+2|=(-1)×|-2 -4 λ+2|
|0 4-2λ 1/2×λ^2+1/2×λ-3| |0 λ-2 λ-2|
|0 λ-2 λ-2| |0 4-2λ 1/2×λ^2+1/2×λ-3|
=(-1)×|-2 -4 λ+2|=(λ+7)(λ-2)^2.
|0 λ-2 λ-2|
|0 0 1/2×(λ+7)(λ-2)|
所以，A的特征值为-7，2，2.
或书上写的， B 的各行元素成比例，
因第 2 行是第 1 行的 4 倍，...... , 第 n 行是第 1 行的 n^2 倍,
r(B) = 1, 有 n -1 重零特征值。
一个非零特征值是根据特征值以下性质得出的：
所有特征值之和等于矩阵的迹（即对角元之和）。
