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先证α1-α0, ...,αn-r - α0 线性无关
设 k1(α1-α0)+ ...+kn-r(αn-r - α0) = 0
则 k1α1+...+kn-rαn-r - (k1+...+kn-r)α0 = 0
由于 α0,α1,...,αn-r 线性无关
所以 k1=...=kn-r=0
所以 α1-α0, ...,αn-r - α0 线性无关
又因为非齐次线性方程组解的差是其导出组的解
所以 α1-α0, ...,αn-r - α0 是 Ax=0 的n-r个线性无关的解
所以 α1-α0, ...,αn-r - α0 是 Ax=0 的一个基础解系
所以 AX=0 的通解为 ..........
设 k1(α1-α0)+ ...+kn-r(αn-r - α0) = 0
则 k1α1+...+kn-rαn-r - (k1+...+kn-r)α0 = 0
由于 α0,α1,...,αn-r 线性无关
所以 k1=...=kn-r=0
所以 α1-α0, ...,αn-r - α0 线性无关
又因为非齐次线性方程组解的差是其导出组的解
所以 α1-α0, ...,αn-r - α0 是 Ax=0 的n-r个线性无关的解
所以 α1-α0, ...,αn-r - α0 是 Ax=0 的一个基础解系
所以 AX=0 的通解为 ..........
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