Question

如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点Q是CD上任意一点,DP⊥AQ交BC于点P

求证 DQ=CP OP⊥OQ 好的给30分

Answer 1

如图，

第一问，首先 要证出 三角形dmq 分别与  adq、dpc，相似，，从而得出 adq与dpc相似，而对应边ad与dc相等，故acq与dcp全等，从而 第一问得证

第二问，需要证出  三角形dqo 与三角形pco 全等（用到第一问的pc=dq），从而 角doq 与角poc相等，而db垂直于ac（正方形对角线），从而 角poc+角qoc =角doq +角poc =90°，第二问得证，

Answer 2

证明:(1)∵∠ADQ=90度;DP垂直AQ. ∴∠DAQ=∠CDP(同角的余角相等) 又∵AD=DC;∠ADQ=∠DCP=90度. ∴⊿ADQ≌⊿DCP(ASA),DQ=CP. (2)∵DQ=CP(已 证);DO=CO;∠ODQ=∠OCP=45度. ∴⊿ODQ≌⊿OCP(SAS),∠DOQ=∠COP. ∴∠COP ∠COQ=∠DOQ ∠COQ. 即∠POQ=∠COD=90度.(正方形对角线 互相垂直) ∴OP⊥OQ.

Answer 3

如图所示，设AQ和DP的交点为G，很好证明∠ADG=∠DQG=∠DPC，那么三角形ADQ和三角形DCP和容易证明全等，这个结合正方形的特性和DP⊥AQ的条件。这就得到DQ=CP。然后是过点O做辅助线OE⊥DC于E点，OF⊥CB于点F，那么根据QE=PF，∠QEO=∠PFO=90°，OE=OF可以证得三角形QEO全等于三角形PFO，得∠QOE等于∠POF。那么根据∠EOP+∠POF=90°，即得∠QOE+∠EOP=90°，即OP⊥OQ