Question

已知抛物线y^2=4x,过点P(0,-2)的直线AB交抛物线于A,B两点 ①若向量OA·向量OB=4,则直线AB的方程为什么

②若线段AB的垂直平分线交X轴于Q(Xo,yo),求xo的取值范围

Answer 1

已知抛物线y^2=4x,过点P(0,-2)的直线AB交抛物线于A,B两点
①若向量OA?向量OB=4,则直线AB的方程为什么
②若线段AB的垂直平分线交X轴于Q(Xo,yo),求xo的取值范围
(1)解析：设过点P(0,-2)的直线AB方程为y=kx-2 (k>0)
则k^2x^2-4kx+4=4x==>k^2x^2-4(k+1)x+4=0
X1+x2=4(k+1)/k^2，x1x2=4/k^2
设A(x1,y1),B(x2,y2)
Y1y2=( kx1-2)(kx2-2)=k^2x1x2-2k(x1+x2)+4
∵向量OA?向量OB=x1x2+y1y2=4
∴(k^2+1)x1x2-2k(x1+x2)=0
k^2+2k-1=0
K1=-1-√2(舍), k2=√2-1
∴AB方程为：y=(√2-1)x-2
(2)解析：设过点P(0,-2)的直线AB方程为y=kx-2 (k>0)
则k^2x^2-4kx+4=4x==>k^2x^2-4(k+1)x+4=0
X1+x2=4(k+1)/k^2，x1x2=4/k^2
Y1+y2=k(x1+x2)-4
则AB中点坐标为（2(k+1)/k^2, 2/k）
AB中垂线方程为y-2/k=-1/k*(x-2(k+1)/k^2)
2=(x-2(k+1)/k^2)
解得x=2+2(k+1)/k^2
令f(k)= 2+2(k+1)/k^2 (k>0)
令f’(k)=[-2k^2-4k]/k^4=0==>k=-2
当k>0时，f’(k)单调减
当k趋向正无穷时，f(k)趋向2
∴xo的取值范围(2,+ ∞)

Answer 2

解：第一问：设直线方程为y=kx-2
A(x1,kx1-2),B(x2,kx2-2)
向量OA·向量OB=(k²+1)x1x2-2k(x1+x2)+4=4
所以(k²+1)x1x2=2k(x1+x2)
将直线方程带入y²=4x
即k²x²-（4k+4)x+4=0
x1x2=4/k²，x1+x2=(4k+4)/k²
所以k=-1±√2
又Δ=16(k+1)²-16k²>0,∴k>-1/2,故舍去k=-1-√2
所以直线方程为y=（-1+√2)x-2
第二问：设A，B中点坐标为(x',y')
∴线段AB的垂直平分线所在直线方程为
y-y’=-1/k(x-x')
令y=0,所以x0=ky'+x'
x'=(x1+x2)/2=2(k+1)/k²
y'=k(x1+x2)/2-2=2/k
x0=2+2(k+1)/k²,k∈(-1/2,+∞),k≠0
令1/k=u,∴u∈(-∞,-2)∪(0,+∞)
x0=2(u²+u+1),u∈(-∞,-2)∪(0,+∞)
易求y=2(x²+x+1)在x∈(-∞,-2)∪(0,+∞)的值域为（2，+∞)
∴x0的取值范围为（2，+∞)